Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:

• При степени ${\displaystyle n}$ многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена является группа перестановок ${\displaystyle S_{n}}$[2].
• При ${\displaystyle n\geqslant 5}$ группа перестановок ${\displaystyle S_{n}}$ не является разрешимой[3].

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение ${\displaystyle n}$-й степени при ${\displaystyle n\geqslant 5}$ не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение ${\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0}$ имеет корень ${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}}$.

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)[4].

Руффини, Паоло, Teoria generale delle equazioni, 1799

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.

Их доказательства основывались на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, которая позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

• Однородное уравнение
• Возвратное уравнение

• Теория Галуа
• Корень Бринга
• Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
• Резольвента алгебраического уравнения
• Уравнение шестой степени

• Алексеев, В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях (рус.). — М.: МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3.
• Табачников, С. Л., Фукс, Д. Б. Математический дивертисмент. Лекция 5 (рус.). — МЦНМО, 2011. — 512 с. — ISBN 978-5-94057-731-7.
• Bosch, S. Algebra (нем.). — 6. Auflage. — Springer, 2006. — ISBN 3-540-29880-0.
• Dehn, E. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois (англ.). — New York: Columbia University Press, 1930.
• Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Algebra (англ.). — Seventh Edition. — Pearson Education Limited, 2014. — ISBN 1-292-02496-8.
• Stewart, I. Galois Theory (англ.). — Second edition. — Chapman & Hall, 1989. — ISBN 978-94-010-6864-2.

• Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Galois's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• David Terr & Eric W. Weisstein. Galois Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Solvable Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.