Корень Бринга

В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция , задающая единственный действительный корень многочлена . Иначе говоря, для любого верно, что

y=Br(x)

Разрез на комплексной плоскости проходит вдоль вещественной полуоси .

Корень Бринга был введён шведским математиком Эрландом Самуэлем Брингом.

Джордж Джеррард показал, что все уравнения 5-й степени могут быть решены в радикалах и корнях Бринга.

Нормальная форма Бринга — Жерара

Если

тогда, если

мы можем получить полином 5-й степени от , сделав преобразование Чирнгауза, например, используя результант для исключения . Мы можем затем подобрать конкретные значения коэффициентов для того, чтобы получить полином от в форме

Эта неполная форма, открытая Брингом и переоткрытая Жераром, называется нормальной формой Бринга — Жерара. Метод «в лоб» при попытке приведения к нормальной форме Бринга — Жерара не срабатывает; нужно делать это шаг за шагом, применяя несколько преобразований Чирнгауза, которые современные системы аналитических вычислений делают довольно легко.

В начале, подставляя вместо , избавляемся от члена с . Затем, применяя идею Чирнгауза для исключения и члена , введём переменную и найдём такие и , чтобы в результате коэффициенты при и стали равны 0. Конкретнее, подстановки

и

исключают члены третьей и четвёртой степени одновременно из

Следующим шагом делаем подстановку

в форму

и исключаем также член второй степени, в процессе чего не потребуется решения уравнений степени выше 3. При этом выражения для и содержат квадратные корни, а в выражении для присутствует корень третьей степени.

Общий вид сравнительно легко вычислить с помощью компьютерных систем типа Maple или Mathematica, но он слишком громоздкий, поэтому лучше опишем метод, который затем может быть применён в конкретном случае. В любом частном случае можно составить систему из трёх уравнений для коэффициентов и решить её. Одно из решений, полученных таким образом, будет включать корни многочленов не выше третьей степени; рассмотрев затем результант с вычисленными коэффициентами, сведём уравнение к форме Бринга — Жерара. Корни первоначального уравнения выражаются через корни полученного уравнения.

Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения уравнения

зависят от двух параметров, и , однако заменой переменной можно видоизменить уравнение так, чтобы неизвестная была функцией уже только одного параметра. Так, если положить

придём к форме

которая содержит как алгебраическую функцию одного комплексного, вообще говоря, параметра , где .

Корни Бринга

Как функции комплексной переменной t, корни x уравнения

имеют точки ветвления, где дискриминант 800 000(t4 - 1) обращается в ноль, то есть в точках 1, −1, а также i и -i. Монодромия вокруг любой из точек ветвления обменивает две из них, оставляя одну на месте. Для вещественных значений t, больших или равных −1, наибольший вещественный корень есть функция от t, монотонно возрастающая от 1; назовём эту функцию корень Бринга, BR(t). Выбирая ветвь, обрезанную вдоль вещественной оси от до −1, мы можем продолжить корень Бринга на всю комплексную плоскость, устанавливая значения вдоль ветви так, чтобы получалось аналитическое продолжение вдоль верхней полуплоскости.

Конкретно, положим , и последовательность ai определим рекуррентно

Для комплексных значений t таких, что |t - 57| < 58, получим

что можно аналитически продолжить, о чём было уже упомянуто.

Корни x5 — 5x — 4t = 0 можно теперь выразить в терминах корней Бринга таким образом:

для n от 0 до 3, и

для пятого корня.

Решение общего уравнения пятой степени

Мы можем теперь выразить корни полинома

в терминах радикалов Бринга как

для подсчёта корня достаточно брать только 1 значение из 4-x

.
Доказательство

В уравнении сделаем подстановку , получим . Возьмём , тогда получим: . Его корни по определению равны :

, тогда корни исходного уравнения равны

Что и требовалось доказать.

Итак, у нас есть сведение к форме Бринга-Жерара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Это значит, что преобразования могут быть обращены нахождением корней многочлена, выраженных в радикалах. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга, что т.о. будет алгебраическим решением в терминах алгебраических функций одной переменной - алгебраическим решением общего уравнения пятой степени.

Примеры

1)

2)

,

функция определена ниже

3)

.

4)

5)

6)

График функции

Для классификации введём дискриминант

Тогда в зависимости от знака D тип графика можно разбить на 3 случая:

  • . 1 действительный корень и 4 комплексных корня. Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX
  • . 3 действительных корня и два комплексных. Максимум и минимум находятся по разные стороны от оси OX
  • . Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX. Полином имеет кратные корни. Их можно найти по формуле:, где — наибольший общий делитель.

Если , то уравнение имеет кратные корни.

Разрешимые классы уравнений 5 степени

1)

.

2) Если в уравнении ,

то корни выражаются через:

, где ,,

Другие свойства

Много других свойств корней Бринга было получено, первые были сформулированы в терминах модулярных эллиптических функций Шарлем Эрмитом в 1858. Напишем основные свойства:

0.

  4. , как следствие из 2

Разрешимость в радикалах

если ,

то уравнение разрешимо в стандартных радикалах.

Разложение в ряд при

Введём: ,

Ряд примет вид:

y=H(x)

Тогда:

при

, где

при

y=L(x)

где

Разложение в ряд при

или

Частные значения

Решение через пределы

Дано уравнение: , его корень можно представить в виде:

, или

Доказательство

1)Представим эту запись в виде последовательности , где:

2) Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена , значит имеет предел при , и ,

значит получаем уравнение: , тогда:

Что и требовалось доказать.

Решение через тета функции

1),

для всех 5 корней

2) Для определим:

- Эта-функция Дедекинда

Тогда: , знак выбирается соответственно.

Вывод Глассера

По М. Л. Глассеру (см. ссылку внизу) можно найти решение любого полиномиального уравнения из трёх слагаемых вида:

В частности, произвольное уравнение пятой степени может быть сведено к такой форме с помощью преобразований Чирнхгауза, показанных выше. Возьмём , где общая форма:

а

Формула Лагранжа показывает, что любая аналитическая функция f в окрестности корня преобразованного общего уравнения относительно ζ может быть выражена в виде бесконечного ряда:

Если мы положим в этой формуле, то сможем получить корень:

Следующие N-2 корня могут быть найдены заменой на другие корни (N-1)-й степени из единицы, а последний корень - из теоремы Виета (например, используя тот факт, что сумма всех корней многочлена трёхчленной формы, приведённой выше, равна 1). С помощью теоремы умножения Гаусса вышеуказанный бесконечный ряд может быть разбит в конечную сумму гипергеометрических функций:

где .

Корни уравнения тогда можно представить как сумму самое большее N-1 гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной форме Бринга-Жеррара, определим следующие функции:

которые суть гипергеометрические функции, присутствующие в рядах выше. Корни уравнения пятой степени тогда:

Это по существу тот же результат, что был получен методом дифференциальной резольвенты, разработанным Джеймсом Коклом} и Робертом Харлеем в 1860 году.

Дифференциальная резольвента

Функция φ может быть определена так:

Тогда дифференциальная резольвента такова:

См. также

Внешние ссылки
  • M.L. Glasser. The Quadratic Formula Made Hard: A Less Radical Approach to Solving Equations. Статья доступна на arXiv.org здесь (недоступная ссылка)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.