Корень Бринга
В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция , задающая единственный действительный корень многочлена . Иначе говоря, для любого верно, что
Разрез на комплексной плоскости проходит вдоль вещественной полуоси .
Корень Бринга был введён шведским математиком Эрландом Самуэлем Брингом.
Джордж Джеррард показал, что все уравнения 5-й степени могут быть решены в радикалах и корнях Бринга.
Нормальная форма Бринга — Жерара
Если
тогда, если
мы можем получить полином 5-й степени от , сделав преобразование Чирнгауза, например, используя результант для исключения . Мы можем затем подобрать конкретные значения коэффициентов для того, чтобы получить полином от в форме
Эта неполная форма, открытая Брингом и переоткрытая Жераром, называется нормальной формой Бринга — Жерара. Метод «в лоб» при попытке приведения к нормальной форме Бринга — Жерара не срабатывает; нужно делать это шаг за шагом, применяя несколько преобразований Чирнгауза, которые современные системы аналитических вычислений делают довольно легко.
В начале, подставляя вместо , избавляемся от члена с . Затем, применяя идею Чирнгауза для исключения и члена , введём переменную и найдём такие и , чтобы в результате коэффициенты при и стали равны 0. Конкретнее, подстановки
- и
исключают члены третьей и четвёртой степени одновременно из
Следующим шагом делаем подстановку
в форму
и исключаем также член второй степени, в процессе чего не потребуется решения уравнений степени выше 3. При этом выражения для и содержат квадратные корни, а в выражении для присутствует корень третьей степени.
Общий вид сравнительно легко вычислить с помощью компьютерных систем типа Maple или Mathematica, но он слишком громоздкий, поэтому лучше опишем метод, который затем может быть применён в конкретном случае. В любом частном случае можно составить систему из трёх уравнений для коэффициентов и решить её. Одно из решений, полученных таким образом, будет включать корни многочленов не выше третьей степени; рассмотрев затем результант с вычисленными коэффициентами, сведём уравнение к форме Бринга — Жерара. Корни первоначального уравнения выражаются через корни полученного уравнения.
Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения уравнения
зависят от двух параметров, и , однако заменой переменной можно видоизменить уравнение так, чтобы неизвестная была функцией уже только одного параметра. Так, если положить
придём к форме
которая содержит как алгебраическую функцию одного комплексного, вообще говоря, параметра , где .
Корни Бринга
Как функции комплексной переменной t, корни x уравнения
имеют точки ветвления, где дискриминант 800 000(t4 - 1) обращается в ноль, то есть в точках 1, −1, а также i и -i. Монодромия вокруг любой из точек ветвления обменивает две из них, оставляя одну на месте. Для вещественных значений t, больших или равных −1, наибольший вещественный корень есть функция от t, монотонно возрастающая от 1; назовём эту функцию корень Бринга, BR(t). Выбирая ветвь, обрезанную вдоль вещественной оси от до −1, мы можем продолжить корень Бринга на всю комплексную плоскость, устанавливая значения вдоль ветви так, чтобы получалось аналитическое продолжение вдоль верхней полуплоскости.
Конкретно, положим , и последовательность ai определим рекуррентно
Для комплексных значений t таких, что |t - 57| < 58, получим
что можно аналитически продолжить, о чём было уже упомянуто.
Корни x5 — 5x — 4t = 0 можно теперь выразить в терминах корней Бринга таким образом:
для n от 0 до 3, и
для пятого корня.
Решение общего уравнения пятой степени
Мы можем теперь выразить корни полинома
в терминах радикалов Бринга как
для подсчёта корня достаточно брать только 1 значение из 4-x
- .
В уравнении сделаем подстановку , получим . Возьмём , тогда получим: . Его корни по определению равны :
- , тогда корни исходного уравнения равны
Что и требовалось доказать.
Итак, у нас есть сведение к форме Бринга-Жерара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Это значит, что преобразования могут быть обращены нахождением корней многочлена, выраженных в радикалах. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга, что т.о. будет алгебраическим решением в терминах алгебраических функций одной переменной - алгебраическим решением общего уравнения пятой степени.
Примеры
1)
2)
,
функция определена ниже
3)
.
4)
5)
6)
График функции
Для классификации введём дискриминант
Тогда в зависимости от знака D тип графика можно разбить на 3 случая:
- . 1 действительный корень и 4 комплексных корня. Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX
- . 3 действительных корня и два комплексных. Максимум и минимум находятся по разные стороны от оси OX
- . Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX. Полином имеет кратные корни. Их можно найти по формуле:, где — наибольший общий делитель.
Если , то уравнение имеет кратные корни.
Разрешимые классы уравнений 5 степени
1)
.
2) Если в уравнении ,
то корни выражаются через:
, где ,,
Другие свойства
Много других свойств корней Бринга было получено, первые были сформулированы в терминах модулярных эллиптических функций Шарлем Эрмитом в 1858. Напишем основные свойства:
0.
- , как следствие из 2
Разложение в ряд при
Введём: ,
Ряд примет вид:
Тогда:
при
, где
при
где
Разложение в ряд при
или
Частные значения
Решение через пределы
Дано уравнение: , его корень можно представить в виде:
, или
1)Представим эту запись в виде последовательности , где:
2) Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена , значит имеет предел при , и ,
значит получаем уравнение: , тогда:
Что и требовалось доказать.
Решение через тета функции
1),
для всех 5 корней
2) Для определим:
- Эта-функция Дедекинда
Тогда: , знак выбирается соответственно.
Вывод Глассера
По М. Л. Глассеру (см. ссылку внизу) можно найти решение любого полиномиального уравнения из трёх слагаемых вида:
В частности, произвольное уравнение пятой степени может быть сведено к такой форме с помощью преобразований Чирнхгауза, показанных выше. Возьмём , где общая форма:
а
Формула Лагранжа показывает, что любая аналитическая функция f в окрестности корня преобразованного общего уравнения относительно ζ может быть выражена в виде бесконечного ряда:
Если мы положим в этой формуле, то сможем получить корень:
Следующие N-2 корня могут быть найдены заменой на другие корни (N-1)-й степени из единицы, а последний корень - из теоремы Виета (например, используя тот факт, что сумма всех корней многочлена трёхчленной формы, приведённой выше, равна 1). С помощью теоремы умножения Гаусса вышеуказанный бесконечный ряд может быть разбит в конечную сумму гипергеометрических функций:
где .
Корни уравнения тогда можно представить как сумму самое большее N-1 гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной форме Бринга-Жеррара, определим следующие функции:
которые суть гипергеометрические функции, присутствующие в рядах выше. Корни уравнения пятой степени тогда:
Это по существу тот же результат, что был получен методом дифференциальной резольвенты, разработанным Джеймсом Коклом} и Робертом Харлеем в 1860 году.
Дифференциальная резольвента
Функция φ может быть определена так:
Тогда дифференциальная резольвента такова: