Гипергеометрическая функция

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид[1]

${\displaystyle {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}}.}$

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом[2]. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера ${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {du}{dz}}-abu=0,}$ где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и ${\displaystyle \infty }$.

Когда параметр ${\displaystyle c}$ не равен нулю и отрицательным целым числам ${\displaystyle (c\neq 0,-1,-2,\ldots )}$ регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)\equiv F(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots .}$

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

${\displaystyle (p)_{n}={\frac {\Gamma (p+n)}{\Gamma (p)}},}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

${\displaystyle F(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}}{(c)_{n}n!}}.}$

Обозначение ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}$ указывают, что есть два параметра, a и b, «идущие в числитель», и один, c, «идущий в знаменатель». На границе ${\displaystyle |z|=1}$ ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы ${\displaystyle a+b-c<0}$, условно сходится при ${\displaystyle z\neq 1}$, ${\displaystyle 0\leq a+b-c<1}$ и расходится, если ${\displaystyle a+b-c\geq 1}$. Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

${\displaystyle \ z^{1-c}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)}$

Оно имеет особую точку при ${\displaystyle z=0}$ и справедливо при всех неположительных ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (c=0,-1,-2,\ldots )}$.[3]

Интегральное представление для гипергеометрической функции при ${\displaystyle {\text{Re}}(c)>{\text{Re}}(b)>0}$ (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

${\displaystyle F(a,b;c;z)={\Gamma (c) \over \Gamma (b)\Gamma (c-b)}\int \limits _{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-tz)^{-a}\,dt,}$

где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной ${\displaystyle z}$-плоскости с разрезом вдоль действительной оси от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle \infty }$ и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при ${\displaystyle \left|z\right|<1}$.

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

Теорема Бейли выражается формулой:

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

• ${\displaystyle 27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{2}=1}$
• И замечательный частный случай предыдущего выражения:

  ${\displaystyle _{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}};\,{\frac {2}{3}};\,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {{\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}}$

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:"Высшая школа", 1962
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
• Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124.
• Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146.