Теорема разложения Гельмгольца

Задача имеет решение не при всех   ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$,   ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$   и   ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$  :

1. Из тождества   ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv 0}$   следует, что должно быть выполнено условие   ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C} =0}$,   то есть дивергенция вектора   ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$   обязана быть равной нулю.
2. Для внутренней задачи из тождества   ${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV=\iint _{S}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )\,dS}$   следует, что   ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {d(x,y,z)} \,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS}$,   то есть интеграл от краевого условия   ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$   по ограничивающей поверхности   ${\displaystyle \mathbf {S} }$   должен быть равен интегралу от функции   ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$   по объему области.
3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции   ${\displaystyle \mathbf {d} }$    и     ${\displaystyle \mathbf {C} }$   должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

A. Внутренняя задача: если

1. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0}$   и  
2. ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {d(x,y,z)} \,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS}$,  

то решение задачи восстановления поля   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$   по ротору   ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$,   дивергенции   ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$   и граничному условию   ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$   существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

1. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0}$   и  
2. интегралы ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$   и   ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   ${\displaystyle \mathbf {r} \to \infty }$   по крайней мере как   ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{1+\varepsilon }}$,  

то решение задачи восстановления поля   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$   по ротору   ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$,   дивергенции   ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$,   граничному условию   ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$   и условию, что   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$   спадает на бесконечности по крайней мере как   ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }}$,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

1. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0}$   и  
2. интегралы ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$   и   ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   ${\displaystyle \mathbf {r} \to \infty }$   по крайней мере как   ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{1+\varepsilon }}$,  

то решение задачи восстановления поля   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$   по ротору   ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$,   дивергенции   ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$   и условию, что   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$   спадает на бесконечности по крайней мере как   ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }}$,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

1. Для заданной вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {F} }$ вычисляются: функция ${\displaystyle \mathbf {C} =\nabla \times \mathbf {F} }$ функция ${\displaystyle \mathbf {d} =\nabla \cdot \mathbf {F} }$, краевое условие ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {S} )=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}}$, если вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {F} }$ задана для подобласти пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с границей ${\displaystyle S}$.
2. Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества ${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\equiv \iint _{S}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )\,dS}$, следует условие совместности ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {d} (x,y,z)\,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS}$. Поэтому все условия совместности входных данных для задачи ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{1}} =\mathbf {d} }$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{1}} =0}$ с краевым условием ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {S} )}$ выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {F_{1}} }$ является безвихревым полем.
3. Поскольку ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv 0}$, условия совместности входных данных для задачи ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0}$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C} }$ с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {F_{2}} }$ является соленоидальным полем.
4. Рассмотрим задачу ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d} }$, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C} }$ с краевым условием ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {S} )}$. Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция ${\displaystyle \mathbf {F} }$, а с другой стороны, решением этой же задачи является функция ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$. Значит, ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$, искомое представление поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции   ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$   вычисляется функция   ${\displaystyle \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=\nabla \mathbf {U} }$,   где скалярный потенциал   ${\displaystyle \mathbf {U} (x,y,z)}$   вычисляется по формуле

  ${\displaystyle \mathbf {U} (x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}dx'dy'dz'}$.  

В результате получается функция   ${\displaystyle \mathbf {F_{1}} (x,y,z)}$,   у которой   ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=\mathbf {d} (x,y,z)}$   и   ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=0}$;  

2) Для заданной функции   ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$   вычисляется функция   ${\displaystyle \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=\nabla \times \mathbf {A} }$,   где векторный потенциал   ${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}$   вычисляется по формуле

  ${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}dx'dy'dz'}$.  

В результате получается функция   ${\displaystyle \mathbf {F_{2}} (x,y,z)}$,   у которой   ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=0}$   и   ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=\mathbf {C} (x,y,z)}$;  

3) Ищется функция   ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$,   у которой   ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=0}$,     ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=0}$,   а нормальная проекция на границе области   ${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {F_{3}} )|_{S}}$   выбрана таким образом, чтобы   ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F_{1}} +\mathbf {F_{2}} +\mathbf {F_{3}} }$   удовлетворяла граничному условию   ${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}=\mathbf {g} (\mathbf {S} )}$.  

Чтобы найти такую функцию   ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$,   делается подстановка   ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=\nabla \mathbf {H} }$,   где скалярный потенциал   ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z)}$   должен удовлетворять уравнению Лапласа   ${\displaystyle \Delta \mathbf {H} =0}$.   Для функции   ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z)}$   получается краевое условие Неймана   ${\displaystyle \left.{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial \mathbf {n} }}\right|_{S}=\mathbf {g(S)} -(\mathbf {n} \cdot (\mathbf {F_{1}+F_{2}} ))}$,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция   ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z)}$   всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция   ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$   всегда существует и единственна.

Функция   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)+\mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$   является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)+\mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$,   где   ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция   ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)}$,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d}$   и   ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} .}$

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всём пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно.[2] В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике; например, уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа[2]. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )).}$