Теорема Кронекера — Капелли

Пусть система совместна. Тогда существуют числа ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ такие, что ${\displaystyle b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}}$. Следовательно, столбец ${\displaystyle b}$ является линейной комбинацией столбцов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ матрицы ${\displaystyle A}$. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B}$.

Пусть ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r}$. Возьмём в матрице ${\displaystyle A}$ какой-нибудь базисный минор. Так как ${\displaystyle \operatorname {rang} A|B=r}$, то он же будет базисным минором и матрицы ${\displaystyle A|B}$. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы ${\displaystyle A|B}$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы ${\displaystyle A}$. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы ${\displaystyle A}$.