Неравенство Фробениуса

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC\leqslant \mathrm {rank} \,ABC+\mathrm {rank} \,B.

В этом неравенстве размерности матриц $A$ , $B$ и $C$ должны позволять существование матрицы $ABC$ (т. е. эти матрицы имеют размерности $i\times j$ , $j\times k$ и $k\times l$ соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

Если $U\subset V$ и $X:V\rightarrow W$ , то $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$ .

Запишем это неравенство для $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$ :

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

Ясно также, что $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$ [1].

Второе доказательство

Рассмотрим блочную матрицу

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

,

применим к матрице $M$ цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC\\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Тогда $\mathrm {rank} \,B+\mathrm {rank} \,ABC=\mathrm {rank} \,M=\mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}\geqslant \mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC$

Примечания

Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 73.

Литература

Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_f2b5fc756d341158-1] Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 73.