Биполярная система координат

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты, служат следующие формулы:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {a\,\mathrm {sh} \,\tau }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\\y={\frac {a\sin \sigma }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\end{matrix}}\right.}$

Биполярная система координат

Окружности Аполлония

где ${\displaystyle 0\leqslant \sigma <\pi }$, ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$.

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle L_{\tau }=L_{\sigma }={\frac {a^{2}}{(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}}.}$

Оператор Лапласа в биполярных координатах:

${\displaystyle \Delta f={\frac {(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

В пространстве биполярные координаты обобщаются бисферическими.