Формула Брахмагупты

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей ${\displaystyle \triangle ABD}$ и ${\displaystyle \triangle BDC}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.}$

Так как ${\displaystyle ABCD}$ является вписанным четырехугольником, то ${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}$ Следовательно, ${\displaystyle \sin A=\sin C}$:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A}$

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}}$

${\displaystyle 4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}}$

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.}$

Записав теорему косинусов для стороны ${\displaystyle CB}$ в ${\displaystyle \triangle ACB}$ и ${\displaystyle \triangle BDC,}$ получаем:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.}$

Используем ${\displaystyle \cos C=-\cos A}$ (${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ противолежащие), а затем выносим за скобки ${\displaystyle 2\cos A}$:

${\displaystyle 2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.}$

Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},}$

Применим формулу ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$:

${\displaystyle (2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})}$

${\displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})}$

${\displaystyle =(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a).}$

Так как полупериметр ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$