Инъективное метрическое пространство
Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, и другие.
Определение
Полное геодезическое метрическое пространство называется инъективным, если произвольное семейство шаров в имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.
Примеры
- Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал.
- Пространство функций на любом пространстве с sup-нормой.
- Любое метрическое дерево.
Свойства
- В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
- Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
- Инъективное пространство является полным.
- Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
- Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
- Иначе говоря, пространство является инъективным, если для любого короткого отображения и изометрического вложения существует короткое отображение такое, что .
- Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
- Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.
См. также
Ссылки
- Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces (англ.) // Commentarii Mathematici Helvetici : journal. — 1964. — Vol. 39. — P. 65—76. — doi:10.1007/BF02566944.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.