Категория метрических пространств
Категория метрических пространств или Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения. (Поскольку композиция из двух коротких отображений является коротким, эти объекты и морфизмы действительно образуют категорию.)
Начало изучению этой категории было дано Джоном Исбелом.
Стрелки
Мономорфизмы в Met являются инъективными короткими отображениями. Эпиморфизмы — короткие отображения с везде плотным образом. Изоморфизмы — изометрии.
Например, включение рациональных чисел в вещественные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но не изоморфизмом.
Пустое метрическое пространство является начальным объектом Met; любое одноточечное метрическое пространство является терминальным объектом. Поскольку начальный объект и конечные объекты различаются, в Met нет нулевых объектов.
Инъективные объекты в Met называются инъективными метрическими пространствами. Инъективные метрические пространства были введены и изучены сначала Aronszajn & Panitchpakdi (1956), до изучения Met как категории; они также могут быть определены внутренне в терминах свойства Хелли их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения их назвали гипервыпуклыми пространствами. Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть встроено изометрически, называемое его инъективной оболочкой.
Произведения
Произведение конечного множества метрических пространств в Met является прямым произведением пространств с расстоянием в пространстве произведений определяется как сумма расстояний в координатных пространствах.
Произведение бесконечного множества метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума. То есть, Мет не является полной категорией, но она конечно замкнута. В Met нет копроизведения .
Вариации и обобщения
Met не единственная категория, чьи объекты являются метрическими пространствами; другие включают категорию равномерно непрерывных функций, категорию липшицевых функций и категорию квазилипшицевых отображений. Короткие отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с постоянной Липшица не более единицы.
Также оказывается удобно расширить категорию метрических пространств, разрешив например расстояниям принимать значение или переходу к преметрическим пространствам, то есть отказавшись от нереавенства треугольника и симметрии для метрики.
Ссылки
- Aronszajn, N. & Panitchpakdi, P. (1956), Extensions of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces, Pacific Journal of Mathematics Т. 6: 405–439, doi:10.2140/pjm.1956.6.405, <http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1103043960>
- Deza, Michel Marie & Deza, Elena (2009), Encyclopedia of Distances, <https://books.google.com/books?id=LXEezzccwcoC&pg=PA38> ,
- Isbell, J. R. (1964), Six theorems about injective metric spaces, Comment. Math. Helv. Т. 39: 65–76, doi:10.1007/BF02566944, <http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002058340>