Инъективный объект

Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.

Определение

Объект категории называется инъективным, если для любого морфизма и любого мономорфизма существует морфизм продолжающий , то есть .

Абелев случай

Исходное определение инъективного объекта было дано для абелева случая (и он остаётся наиболее важным). Если  — абелева категория, то её объект называется инъективным тогда и только тогда, когда функтор Hom точен.

Достаточно много инъективных объектов

Говорят, что в категории достаточно много инъективных объектов, если для любого объекта категории существует мономорфизм в инъективный объект .

Инъективная оболочка

Мономорфизм категории называется существенным, если для любого морфизма композиция является мономорфизмом, только если является мономорфизмом.

Если  — существенный мономорфизм и объект инъективен, то называется инъективной оболочкой . Инъективная оболочка единственна с точностью до неканонического изоморфизма.

Обобщение

объект Q есть H-иньективним если для h : AB из класса H, для любого f : AQ существует коммутативная диаграмма.

Пусть является категорией Класс морфизмов у .

Объект категории называется -иньективним если для любого морфизма и каждого морфизма из класса существует морфизм для которого .

Если является классом мономорфизм то получается определение иньективних модулей.

Категория имеет довольно много -иньективних объектов если для каждого объекта X категории , существует -морфизм с X в -иньективний объект.

Примеры

  • В категории модулей инъективные объекты — это инъективные модули. В существуют инъективные оболочки, и, как следствие, достаточно много инъективных объектов.

-морфизм g в называется -существенным если для любого морфизма f, композиция fg принадлежит классу только если f принадлежит классу .

Если g есть -существенным морфизм с X в -иньективний объект G, то G называется H-иньективною оболочкой объекта X.

Литература

  • Jiri Rosicky. Injectivity and accessible categories.
  • Charles A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. — Cambridge University Press, 1994.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.