Пучок модулей

Для окольцованного пространства ${\displaystyle (X,O_{X})}$, пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулей (или просто ${\displaystyle O_{X}}$-модуль) — это пучок ${\displaystyle F}$ над ${\displaystyle X}$, такой что ${\displaystyle F(U)}$ является ${\displaystyle O_{X}(U)}$-модулем для каждого открытого множества ${\displaystyle U}$, и для каждого открытого множества ${\displaystyle V}$, содержащегося в ${\displaystyle U}$, отображение ограничения ${\displaystyle F(U)\to F(V)}$ согласовано со структурой модулей: для каждых ${\displaystyle a\in O_{X}(U),f\in F(U)}$ имеем

${\displaystyle (af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}}$.

Морфизмом ${\displaystyle O_{X}}$-модулей ${\displaystyle F\to G}$ называется морфизм пучков, такой, что для любого открытого множества ${\displaystyle U}$ отображение ${\displaystyle F(U)\to G(U)}$ является морфизмом ${\displaystyle O_{X}(U)}$-модулей.

• Структурный пучок ${\displaystyle O_{X}}$ является ${\displaystyle O_{X}}$-модулем. Пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулей, являющийся подпучком пучка ${\displaystyle O_{X}}$, называется пучком идеалов на ${\displaystyle X}$.
• Если ${\displaystyle f:F\to G}$ — морфизм ${\displaystyle O_{X}}$-модулей, то ядро, образ и коядро ${\displaystyle f}$ являются ${\displaystyle O_{X}}$-модулями.
• Любые прямые суммы, прямые произведения, прямые и обратные пределы ${\displaystyle O_{X}}$-модулей являются ${\displaystyle O_{X}}$-модулями. Пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулей называется свободным, если он изоморфен прямой сумме нескольких копий ${\displaystyle O_{X}}$. Пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулей ${\displaystyle F}$ называется локально свободным (ранга ${\displaystyle r}$) если у каждой точки ${\displaystyle X}$ существует открытая окрестность, на которой ${\displaystyle F}$ свободен (изоморфен прямой сумме ${\displaystyle r}$ копий пучка ${\displaystyle O_{X}}$). Локально свободный пучок ранга 1 называется также обратимым пучком.
• Если ${\displaystyle F,G}$ — пучки ${\displaystyle O_{X}}$-модулей, можно определить пучок морфизмов из ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle G}$ следующим образом:${\displaystyle U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).}$ Двойственный ${\displaystyle O_{X}}$-модуль к ${\displaystyle O_{X}}$--модулю ${\displaystyle F}$ — это модуль морфизмов из ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle O_{X}}$.
• Пучок, ассоциированный с предпучком ${\displaystyle U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)}$ обозначается ${\displaystyle F\otimes _{O_{X}}G}$. Его слой в точке ${\displaystyle x}$ канонически изоморфен ${\displaystyle F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}}$. Аналогично определяется симметрическое и внешнее произведение.

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 4, 1960.