Делимая группа
Делимая группа — это группа , такая что для любых и уравнение
разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как .
Группа называется -делимой ( — простое число), если для любого разрешимо в уравнение .
Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).
Примеры
- Группа всех рациональных чисел;
- -примарная квазициклическая группа , то есть группа, порожденная счетным набором элементов , удовлетворяющих условию
Свойства делимых групп
- Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
- Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она -делима при каждом простом .
- Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
- Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп (-модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов.
- Любая абелева группа разлагается в прямую сумму , где — делимая группа (она называется делимой частью группы ), а — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.
Строение делимых групп
Если — произвольная делимая абелева группа, то
- .
Связанные определения
Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.
Литература
- Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
- А. Г. Курош Теория групп. — М.: Физматлит, 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.