Нильпотентная группа

Нильпотентная группа — естественное обобщение понятия абелевой группы.

Нильпотентные группы встречаются в теории Галуа, а также в работах по классификации групп. Они, кроме того, играют заметную роль в классификации групп Ли. Аналогичные понятия определяются для алгебр Ли.

Определение

Нильпотентная группа ― группа $G$ , обладающая центральным рядом от $G_{0}=\{e\}$ до $G_{n}=G$ конечной длины.

Связанные определения

Длина наиболее короткого центрального ряда нильпотентной группы называется её классом (или ступенью) нильпотентности.
- Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше $n$ образуют многообразие, определяемое тождеством
  $[\ldots [[x_{0},\;x_{1}],\;x_{2}],\;\ldots ,\;x_{n}]=1.$
- Свободные группы этого многообразия, то есть группы удовлетворяющие только таким соотношениям называются свободными нильпотентными группами.

Свойства

В любой нильпотентной группе нижний (а также верхний) центральный ряд обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы.
Конечные нильпотентные группы исчерпываются прямыми произведениями $p$ -групп.
В любой нильпотентной группе элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по которой не имеет кручения.
Конечно порожденные нильпотентные группы без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали и их подгруппами.
Конечно порожденные нильпотентные группы являются полициклическими группами, более того, они имеют центральный ряд с циклическими факторами.
Любая конечно порождённая нильпотентная группа без кручения является решёткой в односвязной нильпотентной группе Ли.

См. также

Разрешимая группа

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.