Категория модулей
Категория модулей ― категория, объекты которой ― правые (левые или двусторонние — по предварительной договорённости) унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом K с единицей, а морфизмы ― гомоморфизмы K-модулей.
Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в некоторую категорию модулей Свойства категории модулей отражают ряд важных свойств кольца , с этой категорией связан ряд важных свойств кольца, в частности, его гомологические размерности и отчасти — внутреннюю структуру. Категория модулей над коммутативным конечнопорождённым кольцом содержит всю алгебро-геометрическую характеристику аффинной схемы спектра кольца (одна из теорем Серра).
Категории модулей над разными кольцами могут быть эквивалентны (то есть, иметь одинаковый набор классов изоморфных объектов, находящихся в том же отношении между собой). В этом случае говорят, что соответствующие кольца Морита-эквивалентны. Например, эквивалентны между собой категории модулей над алгебрами матриц разного порядка, но общим полем. Все они эквивалентны категории пространств над тем же полем.
Примеры
- Если ― кольцо целых чисел, то категория модулей есть категория абелевых групп.
- Если есть поле, то категория модулей есть категория векторных пространств над .
Литература
- Фейс К. Алгебра: Кольца, модули, категории, том 1,2. — М.: «Мир», 1977-79, — 688 с.+464 с.
- Каш Ф. Модули и кольца. — М.: «Мир», 1981, — 368 с.
- Ламбек И. Кольца и модули. — М.: «Мир», 1971, — 280 с.