Метрическое дерево

Метрическое дерево (или $\mathbb {R}$ -дерево) — определённый тип метрических пространств. Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова, то есть все их треугольники являются ноль-тонкими.

Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей.

Определение

Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника $[xyz]$ найдется точка $p$ , лежащая на всех трёх геодезических $[xy],[yz],[zx]$ .

Свойства

Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек $p,q,x,y\in X$ выполняется следующее неравенство:
$|p-q|_{X}+|x-y|_{X}\leqslant \max\{\,|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}\,\},$

где

|p-q|_{X}

обозначает расстояние между точками

p

и

q

в метрическом пространстве

X

.

Если $X_{n}$ $\text{[math]}$ — последовательность $\delta _{n}$ $\text{[math]}$ -гиперболических пространств, и $\delta _{n}\to 0$ $\text{[math]}$ при $n\to \infty$ $\text{[math]}$ , то ультрапредел $X_{n}$ $\text{[math]}$ является метрическим деревом.
- В частности, конус на бесконечности $\delta$ -гиперболического пространства является метрическим деревом.

Примеры

Если $X$ — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф $X$ — дерево (т. е. не имеет циклов).
Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.