Гиперболичность в смысле Громова

Есть много эквивалентных определений этого свойства (иногда отличающихся изменением ${\displaystyle \delta }$ в константу раз); наиболее простое — для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на отрезке [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности [xz], а [ty] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности [zy].

Эквивалентно, гиперболичность в смысле Громова можно определить, потребовав, чтобы для любых точек ${\displaystyle x,y,z\in X}$ выполнялось

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,}$

где ${\displaystyle (x,y)_{p}}$ обозначает произведение Громова:

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.}$

• Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
• Если пространство содержит изометричную копию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда^{[прояснить]} не может быть гиперболическим.

• Любое компактное пространство гиперболично.
• Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
• Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова.

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov)

• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.