Словарная метрика на группе

Если выбрана и зафиксирована конечная система образующих ${\displaystyle F}$ в конечнопорождённой группе ${\displaystyle \Gamma }$, то расстояние между элементами ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ — это наименьшее число образующих и обратных к ним, в произведение которых раскладывается частное ${\displaystyle g^{-1}h}$.

• Словарная метрика левоинвариантна; то есть сохраняется умножении слева на фиксированный элемент группы.
  • Для неабелевых групп она, вообще говоря, не является правоинвариантной.
• Словарная метрика совпадает с расстоянием в графе Кэли для той же системы образующих.
• Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется квазиизометрично (в данном случае это то же самое, что билипшицевым образом). То есть для некоторых констант ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ имеет место:

  ${\displaystyle \forall g,h\in G\quad {\frac {1}{C_{1}}}d_{2}(g,h)\leq d_{1}(g,h)\leq C_{2}d_{2}(g,h).}$.

• В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии. Например, говорить о степени роста группы (полиномиальной, экспоненциальной, промежуточной) и о её гиперболичности.

Аналогичным способом словарная метрика может быть построена на произвольной группе (не обязательно конечнопорождённой), при этом становится необходимо брать бесконечную систему образующих и многие описанные свойства перестают выполняться.

• J. W. Cannon, Geometric group theory, in Handbook of geometric topology pages 261--305, North-Holland, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4