Квазиизометрия

Квазиизометрия — обобщение понятия изометрии на метрических пространствах, игнорирующая конечные отклонения, как абсолютные, так и относительные. Это понятие особенно важно в геометрической теории групп. Введено Михаилом Громовым.

Определение

Отображение (не обязательно непрерывное) отображение из одного метрического пространства в другое называется квазиизометрией если существуют константы , и такие, что следующие два свойства выполнены:

  1. Для любых двух точек выполняется
  2. Для любой точк найдётся точка такая, что

Связанные определения

  • Отображение удовлетворяющее только первому условию называется квазиизометрическим вложением.
  • Пространства между которыми существует квазиизометрия называются квазиизометрические.

Применение в теории групп

Пусть конечное порождающее множество группы . Рассмотрим соответствующий граф Кэли. Этот граф превращается в метрическое пространство, если мы заявляем, что длина каждого ребра равен 1.

Для другого порождающего множества эта конструкция даёт другое другое метрическое пространство, однако два полученных пространства квазиизометричны.[1] Таким образом квазиизометрический класс этого пространства, является инвариантом группы . То есть, не зависит от выбора порождающего множества.

Свойства

  • Любая группа квазиизометрична любой своей подгруппе конечного индекса.
  • Любая группа квазиизометрична любой своей фактор-группе по конечной нормальной подгруппе.

Ссылки

  1. R.B. Sher and R.J. Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology, North-Holland.

Литература

  • Громов М. Гиперболические группы. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 160 с. — ISBN 5-93972-103-6.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.