Ультрапредел

Напомним, что ультрафильтр ${\displaystyle \omega }$ на множестве натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — это множество подмножеств множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$, которое замкнуто относительно операции пересечения и перехода к надмножеству, и для любого подмножества ${\displaystyle X\subset \mathbb {N} }$ оно содержит либо ${\displaystyle X}$, либо дополнение ${\displaystyle \mathbb {N} \backslash X}$.

Ультрафильтр называется неглавным, если он не содержит конечных множеств.

Пусть ${\displaystyle \omega }$ — неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Если ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ — последовательность точек в метрическом пространстве ${\displaystyle M}$, то точка ${\displaystyle x_{\omega }\in M}$ называется ${\displaystyle \omega }$-пределом ${\displaystyle (x_{n})}$ и обозначается ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$, если для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ подмножество

${\displaystyle \{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\}}$

содержится в ${\displaystyle \omega }$.

• Если ${\displaystyle \omega }$-предел последовательности точек существует, то он единственный.
• Если метрическое пространство компактно, то ${\displaystyle \omega }$-предел любой последовательности точек существует и единственный.
  • В частности, любая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет вполне определенный ${\displaystyle \omega }$-предел в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle \omega }$-предел последовательности является частным её пределом.
  • В частности, если ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$, то и в стандартном смысле ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$.
• Ультрапредел последовательности может отличаться от ультрапредела подпоследовательности.
• Равенство

  ${\displaystyle f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})}$

выполняется для произвольной непрерывной функции ${\displaystyle f}$, определённой в точке ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$.

• В частности:

  ${\displaystyle \lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega }y_{n}}$

  ${\displaystyle \lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n\to \omega }y_{n})}$

• Ультрафильтр