Статистика (функция выборки)
Статистика — измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения элементов выборки.
Определение
Пусть задана случайная выборка наблюдений . Как правило, поскольку речь идёт о задачах математической статистики, распределение элементов этой выборки известно исследователю не полностью (например, содержит неизвестные числовые параметры).
Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки , которая не зависит от неизвестных параметров распределения.
Условие измеримости статистики означает, что эта функция является случайной величиной, то есть определены вероятности её попадания в интервалы и другие борелевские множества на прямой.
Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, то есть исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно — основывать на этом значении оценки и прочие статистические выводы.
Пример
Предположим, что имеется числовая выборка , элементы которой имеют нормальное распределение . Допустим, что значение параметра (математического ожидания) известно, то есть это некоторое конкретное число, а значение среднеквадратичного отклонения неизвестно (и его требуется оценить). Для этого может быть использована следующая статистика:
Однако если значение параметра также неизвестно, то данная функция не является статистикой. В этом случае её по-прежнему можно исследовать теоретически (например, доказывать, что математическое ожидание равно ), однако вычислить её числовое значение нельзя, поэтому для получения непосредственных статистических выводов она не может быть использована. В этом случае оценка параметра строится другим способом (см. ниже).
Ниже приведены примеры некоторых часто используемых статистик. Все они предполагают, что наблюдения являются числовыми, .
В последние годы активно развивается также статистика объектов нечисловой природы.
Статистики, используемые для оценки моментов (выборочные моменты)
- Выборочное среднее:
- Выборочная дисперсия:
- .
- Несмещённая оценка дисперсии:
- Выборочный момент -го порядка (выборочное среднее — момент первого порядка):
- .
- Выборочный центральный момент -го порядка (выборочная дисперсия — центральный момент второго порядка):
- .
- Несмещённые оценки центральных моментов:
- ;
- ;
- .
Выборочный коэффициент асимметрии
Выборочный коэффициент асимметрии:
- .
Если плотность распределения симметрична, то . Если левый хвост распределения «тяжелее», то , если «тяжелее» правый хвост — то .
Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.
Выборочный коэффициент эксцесса
Выборочный коэффициент эксцесса:
- .
Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс: .
Если хвосты распределения «легче», а пик «острее», чем у нормального распределения, то .
Если хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения, то .
Выборочный коэффициент эксцесса часто используется для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.
Статистики, связанные с эмпирическим распределением
Эмпирическое распределение случайной величины , построенное по случайной выборке , есть функция:
- .
При любом фиксированном значение можно рассматривать как статистику.
Порядковые статистики
Порядковые статистики основаны на вычислении вариационного ряда, который получается из исходной выборки путём упорядочивания её элементов по возрастанию:
- .
Значение называется -й порядковой статистикой.
Ранговые статистики
Значение называется рангом элемента выборки , если .
Ранговой статистикой называется любая статистика, которая является функцией от рангов элементов , а не от их значений . Переход от значений к их рангам позволяет строить непараметрические статистические критерии, которые не опираются на априорные предположения о функции распределения выборки. Они имеют гораздо более широкую область применения, чем параметрические статистические критерии.
Средний ранг
Аналогом выборочного среднего является средний ранг:
Линейные ранговые статистики
Многие используемые на практике ранговые статистики принадлежат семейству линейных ранговых статистик, либо асимптотически приближаются к линейным при . Линейная ранговая статистика в общем случае имеет вид:
- ,
где — произвольная заданная числовая матрица размера .
Литература
- Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
- Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009. Вып. 14: Лекции по асимптотической теории ранговых критериев / Чибисов Д. М. – 176 с.
- Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –3-е изд. перераб. и доп.- М.: Радио и связь, 1989. – 656с.: ил. ISBN 5-256-00264-3