Несмещённая оценка

Пусть ${\displaystyle {\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ — выборка из распределения, зависящего от параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$. Тогда оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)}$ называется несмещённой, если

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta }$,

где

• ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]}$ — математическое ожидание;
• ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности.

В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина ${\displaystyle \mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta }$ называется её смеще́нием.

• Выборочное среднее ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ является несмещённой оценкой математического ожидания ${\displaystyle X_{i}}$, так как если ${\displaystyle \mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty }$, ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} }$, то ${\displaystyle \mathbb {E} {\bar {X}}=\mu }$.

• Пусть независимые случайные величины ${\displaystyle X_{i}}$ имеют конечную дисперсию ${\displaystyle \mathrm {D} X_{i}=\sigma ^{2}}$. Построим оценки

${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$ — выборочная дисперсия,

и

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$ — исправленная выборочная дисперсия.

Тогда ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ является смещённой, а ${\displaystyle S^{2}}$ несмещённой оценками параметра ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Смещённость ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ можно доказать следующим образом.

Пусть ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — среднее и его оценка соответственно, тогда:

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}{\bigg ]}.}$

Добавив и отняв ${\displaystyle \mu }$, а затем сгрупировав слагаемые, получим:

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.}$

Возведём в квадрат и получим:

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.}$

Заметив, что ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )={\overline {X}}-{\frac {1}{n}}(n\mu )}$, получим:

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.}$

Учитывая, что

• ${\displaystyle \operatorname {E} [a+b]=\operatorname {E} [a]+\operatorname {E} [b]}$ (свойство математического ожидания);
• ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\bigg ]}=\sigma ^{2}}$ — дисперсия;
• ${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2}}$, т.к. ${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\big (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac {2}{n^{2}}}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}}$, учитывая, что ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle X_{j}}$ независимые и ${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0}$, т.е. ${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}\operatorname {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0}$,

получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$

• M. G. Kendall. "The advanced theory of statistics (vol. I). Distribution theory (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
• M. G. Kendall and A. Stuart. "The advanced theory of statistics (vol. II). Inference and relationship (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
• A. Papoulis. Probability, random variables, and stochastic processes (3rd edition). McGrow-Hill Inc., 1991.
• G. Saporta. "Probabilités, analyse des données et statistiques". Éditions Technip, Paris, 1990.
• J. F. Kenney and E. S. Keeping. Mathematics of Statistics. Part I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
• I. V. Blagouchine and E. Moreau: "Unbiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 9, pp. 3330–3346, September 2009.
• An Illuminating Counterexample