Квантор

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего упоминают:

  • Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…»).
  • Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.

В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например, квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).

Примеры

Обозначим предикат «x делится на 9». Используя квантор всеобщности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

  1. любое натуральное число кратно 9;
  2. каждое натуральное число кратно 9;
  3. все натуральные числа кратны 9;

следующим образом:

.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

  1. существуют натуральные числа, кратные 9;
  2. найдётся натуральное число, кратное 9;
  3. хотя бы одно натуральное число кратно 9.

Их формальная запись:

.

Введение в понятие

Пусть на множестве простых чисел задан предикат : «Простое число нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом слово «существует», получим истинное высказывание «Существует простое число , являющееся нечётным» (например, ).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике
  • Высказывание означает, что область значений переменной включена в область истинности предиката .

(«При всех значениях утверждение верно»).

  • Высказывание означает, что область истинности предиката не пуста.

(«Существует , при котором утверждение верно»).

Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Свободные переменные.

  • Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
  • свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,
  • переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
  • все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Замкнутая формула.

  • Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Связанная переменная.

  • Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.

Связанное переименование, свободное переименование

Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:


История появления

Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имён[1].

Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 г., в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения для квантора существования (перевёрнутая первая буква англ. Exists — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 г., и для квантора общности (нем. Alle — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в 1935 г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.

Примечания
  1. «Но слова: всякое, любое, некоторое и т. д., указывающие на всеобщее или частное значение других слов, являются не именами, а только частями имен». (Томас Гоббс «О теле»)

Литература
  • Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138
  • Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с.
  • Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
  • Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.