Порядковая статистика

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — конечная выборка из распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$, определённая на некотором вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Пусть ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ и ${\displaystyle x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n}$. Перенумеруем последовательность ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ в порядке неубывания, так что

${\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)}}$.

Эта последовательность называется вариационным рядом. Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина ${\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)}}$ называется ${\displaystyle k}$-ой порядковой статистикой исходной выборки[1]. Порядковые статистики являются основой непараметрических методов.

Очевидно из определения:

• ${\displaystyle X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})}$;
• ${\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})}$.

• Пусть дана независимая выборка ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ из абсолютно непрерывного распределения, задаваемого плотностью распределения ${\displaystyle f_{X}}$ и функцией распределения ${\displaystyle F_{X}}$. Тогда порядковые статистики также имеют абсолютно непрерывные распределения, и их плотности распределения имеют вид[2]:

${\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)}$.

• Случайный вектор ${\displaystyle \left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }}$, где ${\displaystyle 1\leq j<k\leq n}$ также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:

${\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X}(x_{j})]^{k-j-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{n-k}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k}),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.}$.

Плотности стандартного непрерывного равномерного распределения и его порядковых статистик для случая n=5.

Пусть ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]}$ - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда

• ${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{n-k},\quad u\in [0,1]}$,

то есть ${\displaystyle U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)}$, где ${\displaystyle \mathrm {B} }$ - бета-распределение;

• ${\displaystyle f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{k-j-1}[1-u_{k}]^{n-k},\quad j<k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1}$;
• ${\displaystyle f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\leq \cdots \leq u_{n}\leq 1}$.

• Статистика (функция выборки)
• Алгоритм выбора