F-тест

Пусть имеются две выборки объёмом m и n соответственно случайных величин X и Y, имеющих нормальное распределение. Необходимо проверить равенство их дисперсий. Статистика теста

${\displaystyle F={\frac {{\hat {\sigma }}_{X}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{Y}^{2}}}~\sim ~F(m-1,n-1)}$

где ${\displaystyle {{\hat {\sigma }}^{2}}}$ — выборочная дисперсия.

Если статистика больше критического значения, соответствующего выбранному уровню значимости, то дисперсии случайных величин признаются не одинаковыми.

Пусть выборка объёмом N случайной величины X разделена на k групп с количеством наблюдений ${\displaystyle n_{i}}$ в i-ой группе.

Межгрупповая («объяснённая») дисперсия: ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{BG}^{2}=\sum _{i=1}^{k}n_{i}({\overline {x_{i}}}-{\overline {x}})^{2}/(k-1)}$

Внутригрупповая («необъяснённая») дисперсия: ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{WG}^{2}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}(x_{ij}-{\overline {x}}_{i})^{2}/(N-k)}$

${\displaystyle F={\frac {{\hat {\sigma }}_{BG}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{WG}^{2}}}~\sim ~F(k-1,N-k)}$

Данный тест можно свести к тестированию значимости регрессии переменной X на фиктивные переменные-индикаторы групп. Если статистика превышает критическое значение, то гипотеза о равенстве средних в выборках отвергается, в противном случае средние можно считать одинаковыми.

Статистика теста для проверки линейных ограничений на параметры классической нормальной линейной регрессии определяется по формуле:

${\displaystyle F={\frac {(RSS_{S}-RSS_{L})/q}{RSS_{L}/(n-k_{L})}}={\frac {(R_{L}^{2}-R_{S}^{2})/q}{(1-R_{L}^{2})/(n-k_{L})}}~\sim ~F(q,n-k_{L})}$

где ${\displaystyle q=k_{L}-k_{S}}$ -количество ограничений, n-объём выборки, k-количество параметров модели, RSS-сумма квадратов остатков модели, ${\displaystyle R^{2}}$-коэффициент детерминации, индексы S и L относятся соответственно к короткой и длинной модели (модели с ограничениями и модели без ограничений).

Описанный выше F-тест является точным в случае нормального распределения случайных ошибок модели. Однако F-тест можно применить и в более общем случае. В этом случае он является асимптотическим. Соответствующую F-статистику можно рассчитать на основе статистик других асимптотических тестов — теста Вальда (W), теста множителей Лагранжа(LM) и теста отношения правдоподобия (LR) — следующим образом:

${\displaystyle F={\frac {n-k}{q}}W/n~,~F={\frac {n-k}{q}}{\frac {LM}{n-LM}}~,~F={\frac {n-k}{q}}(e^{LR/n}-1)}$ Все эти статистики асимптотически имеют распределение F(q, n-k), несмотря на то, что их значения на малых выборках могут различаться.

Данный тест очень важен в регрессионном анализе и по существу является частным случаем проверки ограничений. В данном случае нулевая гипотеза — об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при факторах регрессионной модели (то есть всего ограничений k-1). В данном случае короткая модель — это просто константа в качестве фактора, то есть коэффициент детерминации короткой модели равен нулю. Статистика теста равна:

${\displaystyle F={\frac {R^{2}/(k-1)}{(1-R^{2})/(n-k)}}~\sim ~F(k-1,n-k)}$

Соответственно, если значение этой статистики больше критического значения при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза отвергается, что означает статистическую значимость регрессии. В противном случае модель признается незначимой.

Пусть оценивается линейная регрессия доли расходов на питание в общей сумме расходов на константу, логарифм совокупных расходов, количество взрослых членов семьи и количество детей до 11 лет. То есть всего в модели 4 оцениваемых параметра (k=4). Пусть по результатам оценки регрессии получен коэффициент детерминации ${\displaystyle R^{2}=41.2366\%}$. По вышеприведенной формуле рассчитаем значение F-статистики в случае, если регрессия оценена по данным 34 наблюдений и по данным 64 наблюдений: ${\displaystyle F_{1}={\frac {0.412366/(4-1)}{(1-0.412366)/(34-4)}}=0,70174*10=7,02}$

${\displaystyle F_{2}={\frac {0.412366/(4-1)}{(1-0.412366)/(64-4)}}=0,70174*20=14.04}$

Критическое значение статистики при 1 % уровне значимости (в Excel функция FРАСПОБР) в первом случае равно ${\displaystyle F_{1\%}(3,30)=4,51}$, а во втором случае ${\displaystyle F_{1\%}(3,60)=4,13}$. В обоих случаях регрессия признается значимой при заданном уровне значимости. В первом случае P-значение равно 0,1 %, а во втором — 0,00005 %. Таким образом, во втором случае уверенность в значимости регрессии существенно выше (существенно меньше вероятность ошибки в случае признания модели значимой).

См. Тест Голдфелда-Куандта