Статистический критерий

Пусть даны выборка ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ из неизвестного совместного распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\mathbf {X} }}$, и семейство статистических гипотез ${\displaystyle H_{0},H_{1},\ldots }$. Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

${\displaystyle f:\mathbf {X} \to \{H_{0},H_{1},\ldots \}}$.

Таким образом, каждой реализации выборки ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

• Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: ${\displaystyle H_{0}:\quad a=a_{0}}$ — нулевая гипотеза. ${\displaystyle H_{1}:\quad a>a_{0}\quad (a<a_{0})}$ или ${\displaystyle a\neq a_{0}}$ — конкурирующая гипотеза.

• Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать как критерии значимости. Критериями согласия являются:

1. Критерий Пирсона
2. Критерий Колмогорова
3. Критерий Андерсона — Дарлинга
4. Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
5. Критерий согласия Купера
6. Z-тест
7. Тест Харке — Бера
8. Критерий Шапиро — Уилка
9. График нормальности — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

• Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (то есть проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Пусть дана независимая выборка ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }}$ из нормального распределения ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,1),\ i=1,\ldots ,n}$ (здесь ${\displaystyle \mu }$ — неизвестный параметр). Пусть имеется две простые гипотезы:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{0}:&\mu =0,\\H_{1}:&\mu =1.\end{matrix}}}$

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left\{{\begin{matrix}H_{0},&{\bar {x}}\leq 0.5\\H_{1},&{\bar {x}}>0.5,\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$ — выборочное среднее.

• Проверка статистических гипотез
• Статистическая значимость критерия
• Мощность критерия
• Ошибки первого и второго рода
• Факторный анализ
• Дисперсионный анализ
• Регрессионный анализ
• Ковариационный анализ
• Receiver operating characteristic
• Распределение частот

1. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика: Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II: Непараметрические критерии. — М.: Госстандарт РФ, 2002. Электронная версия.