Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова

Классический непараметрический критерий согласия Крамера — Мизеса — Смирнова предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ с известным вектором параметров теоретического закона. В критерии ${\displaystyle \omega ^{2}}$ Крамера — Мизеса — Смирнова используется статистика вида

${\displaystyle S_{\omega }=n\omega _{n}^{2}={\frac {1}{12n}}+\sum _{i=1}^{n}\left(F(x_{i},\theta )-{\frac {2i-1}{2n}}\right)^{2}}$,

где ${\displaystyle n}$ — объем выборки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика критерия подчиняется распределению вида ${\displaystyle a1(S)}$ [1].

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики. Процентные точки распределения ${\displaystyle a1(S)}$ приведены в [1, 2].