Критерий согласия Ватсона

Непараметрический критерий согласия Ватсона[1][2] является развитием критерия согласия Крамера — Мизеса — Смирнова. Критерий был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Ватсона используется статистика вида[1][2]:

${\displaystyle U_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(F(x_{i},\theta )-{\frac {i-0,5}{n}}\right)^{2}-n\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}F(x_{i},\theta )-0,5\right)^{2}+{\frac {1}{12n}}}$ ,

где ${\displaystyle n}$ — объём выборки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика ${\displaystyle U_{n}^{2}}$ в пределе подчиняется[1] распределению:

${\displaystyle G(u)=1-2\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m-1}e^{-2m^{2}\pi ^{2}u}}$ .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида[3]

${\displaystyle U_{n}^{2*}=\left(U_{n}^{2}-0,1/n+0,1/n^{2}\right)(1+0,8/n)}$ .

Однако следует подчеркнуть, что зависимость распределения статистики ${\displaystyle U_{n}^{2}}$ от объема выборки выражена слабо. При ${\displaystyle n>20}$ отличием распределения статистики ${\displaystyle U_{n}^{2}}$ от предельного распределения можно пренебречь. При проверке простых гипотез критерий Ватсона по мощности несколько выигрывает у критерия Крамера-Мизеса-Смирнова[4]

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.