Предгильбертово пространство

Пара ${\displaystyle \left(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ называется предгильбертовым пространством, если ${\displaystyle X}$ — линейное пространство, а ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — определённое на ${\displaystyle X}$ скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},\quad x\in X}$.

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых ${\displaystyle x}$ (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве ${\displaystyle (H,\;\|\cdot \|)}$ справедлив закон параллелограмма, то ${\displaystyle (H,\;\|\cdot \|)}$ — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ такое, что ${\displaystyle \|x\|=(x,x)^{1/2}}$.

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций с интегрируемым квадратом

${\displaystyle L^{2}([a,b])=\left\{f\colon [a,b]\to \mathbb {R} \,\left|\,\int \limits _{a}^{b}\!f^{2}(x)\,dx<\infty \right.\right\},}$

если скалярное произведение определить как

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx,\quad f,g\in L^{2}{\big (}[a,b]{\big )}.}$

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L²).

• Евклидово пространство