Теорема Гильберта о базисе

Пусть F — идеал в R[x] (мы здесь будем считать R коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а p — множество старших коэффициентов многочленов, принадлежащих этому идеалу. Докажем, что p — идеал.

В самом деле, если a и b — элементы p, то a и b являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из F — f(x) = axⁿ + … и g(x) = bx^m + … Если, например, m ⩾ n, то a + b является старшим коэффициентом многочлена x^m-nf(x) + g(x), принадлежащего F. Если a является старшим коэффициентом f(x) то ar является старшим коэффициентом rf(x) из идеала F для любого элемента кольца r. Таким образом p — идеал, а так как R — нётерово кольцо, то p конечно порождается некоторыми элементами a₁, a₂ … a_n, являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов f₁, f₂ … f_n из F. Пусть наибольшая степень этих многочленов равна r. Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна r (если она равна m ⩽ r, то можно сделать её такой, домножая на x^r-m).

Аналогично доказывается что p_k — множество старших коэффициентов многочленов из F, степень которых равна k, объединённое с нулём кольца — является идеалом, и, в силу нётеровости, конечно порождается элементами a_k1, a_k2 …. Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов f_k1, f_k2 … степени k из идеала F.

Докажем, что многочлены f₁, …, f_i, …, f₁₁, …, f_1i, …, f_r-11, …, f_r-1i … порождают идеал F. Пусть f(x) = ax^s + … — какой-нибудь многочлен идеала F, тогда a принадлежит p. Если его степень s ⩾ r, то так как a по доказанному является линейной комбинацией a = r₁a₁ + r₂a₂ + …r_na_n старших членов многочленов f₁, f₂ … f_n степени r , то мы получим, что f(x) − r₁x^s−rf₁ − r₂x^s-rf₂ − … − r_nx^s−rf_n будет многочленом степени, меньшей, чем s и также принадлежащим идеалу F. Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени ⩽ r.

Для многочлена степени ⩽ r применяется та же процедура, но с использованием многочленов f_k1, f_k2 … старшие коэффициенты которых порождают идеал p_k. Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

Последовательно применяя теорему, можно доказать, что кольцо многочленов от n переменных R[x₁, …, x_n] нётерово.

Кольцо R[u₁, …, u_n], конечно порожденное над нётеровым кольцом R, также нётерово (как факторкольцо кольца многочленов R[x₁, …, x_m]).

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М.: Наука, 1976
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра — М.: ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра — М.: Мир, 1968

• Давид Гильберт
• Нётерово кольцо