Проблема Гильберта — Арнольда

Напомним один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Рассмотрим систему полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=P_{n}(x,y),\\{\dot {y}}=Q_{n}(x,y),\end{cases}}\quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2},}$

(*)

где ${\displaystyle P_{n}}$, ${\displaystyle Q_{n}}$ — многочлены степени не выше ${\displaystyle n}$.

Задача (Экзистенциальная проблема Гильберта). Доказать, что для всякого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ существует такое число ${\displaystyle H(n)<\infty }$, что любая система вида (*) обладает не более чем ${\displaystyle H(n)}$ предельными циклами.

Числа ${\displaystyle H(n)}$ называются числами Гильберта для предельных циклов.

Для дальнейшего, нам будет удобно перейти к компактному фазовому пространству и компактной базе параметров. Для этого мы используем приём, известный как компактификация Пуанкаре. Продолжая полиномиальное векторное поле на плоскости до аналитического поля направлений на проективной плоскости мы компактифицируем базу параметров, а затем используя центральную проекцию сферы на проективную плоскость, получаем аналитическое поле направлений на сфере (с конечным числом особых точек). Тем самым, в пространстве всех аналитических полей направлений на сфере выделяется конечно-параметрическое семейство полей с компактной базой параметров, порождаемых полиномиальными системами заданной степени. При этом экзистенциальная проблема Гильберта становится частным случаем следующей (более сильной) гипотезы:

Задача (Проблема глобальной конечности). В любом конечно-параметрическом аналитическом семействе аналитических векторных полей на сфере с компактной базой параметров ${\displaystyle B}$ число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра ${\displaystyle \varepsilon \in B}$.

Полиномиальные векторные поля представляют собой естественный пример конечно-параметрического семейства, и на момент постановки 16-й проблемы Гильберта это было, вероятно, единственным известным явным семейством такого рода. Однако со временем подходы изменились, и внимание математиков стали привлекать вопросы не о конкретном семействе, а о свойствах типичных семейств из некоторого класса. В ходе работы над обзором [AAIS] (1986), В. И. Арнольд предложил рассматривать конечно-параметрические семейства гладких векторных полей и сформулировал несколько гипотез на эту тему.

Какие содержательные вопросы можно задавать о предельных циклах в типичных конечно-параметрических семействах? Очевидно, прямой аналог 16-й проблемы Гильберта в данном случае не имеет смысла: у типичной гладкой системы на сфере может быть сколь угодно большое число гиперболических предельных циклов, не разрушаемых малым шевелением, а значит спрашивать о верхней оценке на число предельных циклов в типичном семействе бессмысленно. Однако, гладкий аналог гипотезы глобальной конечности имеет смысл. Он был сформулирован явно Ю. С. Ильяшенко [I94] и получил название проблемы Гильберта — Арнольда:

Аналитические семейства весьма сложны для изучения — например, они не допускают локальных возмущений в окрестности точки, поэтому нет оснований считать, что решение проблемы Гильберта — Арнольда само по себе позволит доказать гипотезу глобальной конечности, а с ней и 16-ю проблему Гильберта. Однако, исследователи полагают, что изучение гладких векторных полей может дать полезные идеи по поводу 16-й проблемы, а также представляет собой самостоятельную содержательную задачу.

Полицикл

Благодаря компактности базы параметров и фазового пространства, мы можем свести проблему Гильберта — Арнольда к локальной проблеме изучения бифуркаций специальных вырожденных векторных полей. Напомним необходимые определения.

Определение. Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$ (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга ${\displaystyle \gamma _{j}}$ соединяет точки ${\displaystyle p_{j}}$ и ${\displaystyle p_{j+1}}$, где ${\displaystyle p_{n+1}\equiv p_{1}}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$.

Определим «цикличность полицикла», то есть количество предельных циклов, рождающихся при его бифуркации:

Определение. Рассмотрим некоторое семейство векторных полей ${\displaystyle \{v_{\varepsilon }(x)\}_{\varepsilon \in B^{k}}}$. Пусть при ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{*}}$ система имеет полицикл ${\displaystyle \gamma }$. Цикличностью полицикла ${\displaystyle \gamma }$ в семействе ${\displaystyle \{v_{\varepsilon }\}}$ называется такое минимальное число ${\displaystyle \mu }$, что найдется такая окрестность полицикла ${\displaystyle U\supset \gamma }$ и такая окрестность ${\displaystyle V}$ критического значения параметра (${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\supset V\ni \varepsilon _{*}}$), что для всех ${\displaystyle \varepsilon \in V}$ в области ${\displaystyle U}$ одновременно существует не более ${\displaystyle \mu }$ предельных циклов, причем хаусдорфово расстояние между этими циклами и ${\displaystyle \gamma }$ стремится к нулю при ${\displaystyle \varepsilon \to \varepsilon _{*}}$.

Таким образом, цикличность зависит не только от векторного поля, содержащего полицикл, но и от семейства, в которое оно включается.

Определение. Бифуркационным числом ${\displaystyle B(k)}$ называется максимальная цикличность нетривиального полицикла в типичном ${\displaystyle k}$-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере.

Определение бифуркационного числа уже не зависит от семейства, а только от размерности пространства параметров. Сформулируем локальную проблему Гильберта — Арнольда:

Задача. Доказать, что для всякого ${\displaystyle k>0}$ существует ${\displaystyle B(k)<\infty }$, и найти явную верхнюю оценку.

Из соображений компактности следует, что если в некотором семействе число предельных циклов не ограничено, то они обязаны накапливаться к какому-то полициклу, имеющему тем самым бесконечную цикличность. Таким образом, решение локальной проблемы Гильберта — Арнольда влечет за собой решение глобальной.

Локальная проблема Гильберта — Арнольда решена для ${\displaystyle k=1}$ и ${\displaystyle k=2}$ (${\displaystyle B(1)=1}$, ${\displaystyle B(2)=2}$). Для ${\displaystyle k=3}$ существует стратегия решения, но она в настоящий момент не завершена. Применение этой же стратегии для оценки ${\displaystyle B(4)}$ представляется совершенно безнадежной задачей. Основные результаты в этой области для произвольных ${\displaystyle k}$ получены для упрощенной версии локальной проблемы Гильберта—Арнольда, в которой рассматриваются только полициклы, содержащие лишь элементарные особые точки.

Теорема (Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, 1995 [IYa]). Для всякого ${\displaystyle k>0}$ существует ${\displaystyle E(k)<\infty }$.

Теорема (В. Ю. Калошин, 2003 [K]). Для всякого ${\displaystyle k>0}$ справедлива оценка ${\displaystyle E(k)<25^{k^{2}}}$.

• [AAIS] В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций // Динамические системы—5. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — С. 5—218. — ISSN 0233-6723.
• [I94] Yu. Ilyashenko. Normal forms for local families and nonlocal bifurcations // Asterisque. — 1994. — Vol. Vol.222. — С. 233—258.
• [IYa] Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей // УМН. — 1991. — Т. 46, № 1(277). — С. 3–39.
• [K01] В. Ю. Калошин. Проблема Гильберта–Арнольда и оценка цикличности полициклов на плоскости и в пространстве // Функц. анализ и его прил. — 2001. — Т. 35, № 2. — P. 78–81.
• [IK] Ilyashenko, Yu., Kaloshin, V. Bifurcations of planar and spatial polycycles: Arnold's program and its development. // Fields Inst. Commun. — 1999. — Vol. 24. — P. 241—271.
• [K] V. Kaloshin. The Existential Hilbert 16-th Problem and an Estimate for Cyclicity of Elementary Polycycles // Invent. math. — 2003. — Vol. 151. — P. 451—512.