Полицикл

Полицикл векторного поля (также используется термин сепаратрисный многоугольник) — это замкнутая инвариантная кривая, состоящая из особых точек и соединяющих их отрезков фазовых кривых. Различные задачи, связанные с предельными циклами (такие как проблема Дюлака, 16-я проблема Гильберта, проблема Гильберта-Арнольда и др.) зачастую сводятся к изучению бифуркаций векторных полей, содержащих полициклы. Поскольку векторное поле задаёт автономное дифференциальное уравнение и соответствующую динамическую систему, говорят также о полициклах уравнений и систем.

Полицикл, в который входит седловая особая точка (два раза), и две её сепаратрисные связки, а также его отображение Пуанкаре

Формальное определение

Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга соединяет точки и , где , .

Цикличность полицикла

Говоря неформально, цикличность полицикла — это количество предельных циклов, «рождающихся из полицикла» в результате малого возмущения системы. Чтобы придать этому определению строгий смысл, необходимо указать, какие именно малые возмущения рассматриваются — иными словами, включить систему с полициклом в некоторое семейство. Точное определение звучит следующим образом:

Определение. Рассмотрим некоторое семейство векторных полей , зависящее от (вообще говоря, многомерного) параметра . Пусть при система имеет полицикл . Цикличностью полицикла в семействе называется такое минимальное число , что найдётся такая окрестность полицикла и такая окрестность критического значения параметра (), что для всех в области одновременно существует не более предельных циклов, причём хаусдорфово расстояние между этими циклами и стремится к нулю при .

Источники

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.