Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент $t$ системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде (её также называют динамической системой) имеет вид:
${\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n$

или в векторной записи:
${\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})$

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию $x_{n+1}$ , заменив ею аргумент $t$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением ${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с $n$ на $n+1$ , что усложняет структуру семейства решений. Встречается, впрочем, и практический интерес такой замены. В численных методах для жестких систем бывает удобно перейти к аргументу "длина дуги", это производится следующим соотношением $dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}}}$ , которое, фактически, является длиной дуги интегральной кривой в n+1-мерном пространстве.

Свойства автономной системы

Если ${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$ — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть $x_{1},\dots ,x_{n}$ , и не зависят от выбора начального значения аргумента $t$ .

См. также

Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
Отклонение решений автономной системы

Ссылки

В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.