Теорема Гильберта о нулях

Пусть ${\displaystyle k}$ — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), ${\displaystyle K}$ — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ — кольцо многочленов от ${\displaystyle n}$ переменных с коэффициентами в поле ${\displaystyle K}$, пусть ${\displaystyle I}$ — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$, определяемое этим идеалом, состоит из всех точек ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}}$ таких, что ${\displaystyle f(x)=0}$ для любого ${\displaystyle f\in I}$. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен ${\displaystyle p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ зануляется на множестве ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$, то есть если ${\displaystyle p(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x\in V(I)}$, то существует натуральное число ${\displaystyle r}$ такое, что ${\displaystyle p^{r}\in I}$.

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если ${\displaystyle I}$ является собственным идеалом в кольце ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$, то ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$ не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен ${\displaystyle p(x)=1}$ имеет корни всюду на ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$, следовательно, его степень принадлежит ${\displaystyle I}$). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле ${\displaystyle K}$ является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала ${\displaystyle (x^{2}+1)}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала ${\displaystyle J}$ справедлива формула

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

где ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ — радикал идеала ${\displaystyle J}$, а ${\displaystyle {\hbox{I}}(U)}$ — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве ${\displaystyle U}$.

Из этого следует, что операции ${\displaystyle {\hbox{I}}}$ и ${\displaystyle {\hbox{V}}}$ задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в ${\displaystyle K^{n}}$ и радикальными идеалами в ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$, ${\displaystyle R_{d}}$ — множество однородных многочленов степени ${\displaystyle d}$. Тогда

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}}$

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ и однородного идеала ${\displaystyle I}$ пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\;\forall x\in S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}}$

Напомним, что ${\displaystyle f}$ не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами ${\displaystyle x}$, в которых ${\displaystyle f(x)=0}$, определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала ${\displaystyle I\in R_{+}}$ верно

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)).}$

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999. ISBN 5-900916-32-4.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968