Оператор Гильберта — Шмидта
Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор на гильбертовом пространстве с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис в , что
Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.
Скалярное произведение Гильберта — Шмидта
Пусть и — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как
где обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:
Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.
Свойства
Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на . Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на , множество тогда и только тогда, когда конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств
где — пространство, сопряжённое к .