Оператор Гильберта — Шмидта

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {tr} \,A^{T}\!B=\sum _{i\in I}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$

где ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:

${\displaystyle \lVert A\rVert _{\mathrm {HS} }^{2}=\sum _{i\in I}\lVert Ae_{i}\rVert ^{2}.}$

Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.

Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на ${\displaystyle H}$. Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на ${\displaystyle H}$, множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle H}$ конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$

где ${\displaystyle H^{*}}$ — пространство, сопряжённое к ${\displaystyle H}$.