Конечнопорождённый идеал

Конечнопорождённым идеалом ${\displaystyle I}$ ассоциативного кольца ${\displaystyle R}$ называется такой идеал, который порождается конечным числом своих элементов.

В случае, когда ${\displaystyle R}$ — кольцо с единицей, конечнопорождённость для одностороннего (например, правого) идеала ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle R}$ означает, что существует конечное множество элементов ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}\in I}$ таких, что любой элемент из ${\displaystyle I}$ представим в виде суммы ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}}$, где ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in R}$ — какие-то элементы кольца. Это определение полностью соответствует определению конечнопорождённого модуля над кольцом, если рассматривать правый идеал ${\displaystyle I}$ как правый модуль над кольцом ${\displaystyle R}$. Соответственно, двусторонний идеал будет конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}\in I}$ таких, что любой элемент из ${\displaystyle I}$ представим в виде суммы ${\displaystyle a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}}$, где ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in R}$  — какие-то элементы кольца ${\displaystyle R}$.

В общем случае, когда кольцо ${\displaystyle R}$ не обязательно содержит единицу, правый идеал является конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}\in I}$ таких, что любой элемент из ${\displaystyle I}$ представим в виде суммы ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}}$, где ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in R}$ — какие-то элементы кольца, ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z} }$. Двусторонний идеал называется конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}\in I}$ таких, что любой элемент из ${\displaystyle I}$ представим в виде суммы ${\displaystyle a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}+c_{1}i_{1}+\ldots +c_{n}i_{n}+i_{1}d_{1}+\ldots +i_{n}d_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}}$, где ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n},d_{1},\ldots ,d_{n}\in R}$ — какие-то элементы кольца ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z} }$.