Характеристика (алгебра)

Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.

Для кольца ${\displaystyle R}$ характеристикой ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}$ называется наименьшее целое ${\displaystyle n>0}$ такое, что для каждого элемента ${\displaystyle r\in R}$ выполняется равенство:

${\displaystyle n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0}$,

а если такого числа не существует, то предполагается ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R=0}$.

При наличии единицы в кольце ${\displaystyle R}$ характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число ${\displaystyle n}$ такое, что ${\displaystyle n\cdot 1=0}$, если же такого ${\displaystyle n}$ не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ равны нулю. Характеристика кольца вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ равна ${\displaystyle n}$. Характеристика конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число, ${\displaystyle m}$ — положительное целое, равна ${\displaystyle p}$.

Тривиальное кольцо с единственным элементом ${\displaystyle 0=1}$ — единственное кольцо с характеристикой ${\displaystyle 1}$.

Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику ${\displaystyle n}$, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля ${\displaystyle K}$ есть либо ${\displaystyle 0}$, либо простое число ${\displaystyle p}$. В первом случае поле ${\displaystyle K}$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, во втором случае поле ${\displaystyle K}$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ${\displaystyle K}$).

Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ и алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

Если ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо простой характеристики ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}}$ для всех ${\displaystyle a,b\in R}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.