Эндоморфизм Фробениуса

Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо простой характеристики ${\displaystyle p}$ (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца ${\displaystyle R}$ определяется формулой ${\displaystyle F(x)=x^{p}}$. Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на ${\displaystyle p}$).

Если ${\displaystyle \varphi :R\to S}$ — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p}}$, то есть: ${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi }$.

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики ${\displaystyle p}$) в себя.

Если кольцо ${\displaystyle R}$ не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если ${\displaystyle x}$ — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle (x^{n-1})^{p}=0}$. Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если ${\displaystyle R}$ является полем. Например, пусть ${\displaystyle R=\mathbb {F} _{p}(t)}$ — поле рациональных функций с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, тогда функция ${\displaystyle t}$ не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле ${\displaystyle K}$ называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Рассмотрим конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению ${\displaystyle x^{p}=x}$. Уравнение ${\displaystyle p}$-й степени не может иметь более ${\displaystyle p}$ корней, следовательно, в любом расширении поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики ${\displaystyle p}$.

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению ${\displaystyle x^{p^{k}}=x}$ и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками ${\displaystyle k}$-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками ${\displaystyle x\mapsto x^{p^{k}}}$.

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ — конечное поле, где ${\displaystyle q=p^{n}}$. Эндоморфизм Фробениуса ${\displaystyle F}$ сохраняет элементы простого поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, поэтому он является элементом группы Галуа расширения ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p}}$. Оказывается, что эта группа является циклической и порождается ${\displaystyle F}$. Порядок этой группы равен ${\displaystyle n}$, так как эндоморфизм ${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$ действует на ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}}$ основное поле фиксируется ${\displaystyle n}$-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается ${\displaystyle F^{n}}$ и имеет порядок ${\displaystyle k}$.

• Первообразный корень из единицы

• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.
• Фробениуса автоморфизм — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин
• Фробениуса эндоморфзим — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин