Совершенное поле

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.
2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.
3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.
4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.
5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.
6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.

В противном случае поле называется несовершенным.

Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.

Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом.[1] (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью).

Примеры

Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p-й корень из x.

Совершенное замыкание

В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни pr-й степени (r≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается .

В терминах универсального свойства, совершенное замыкание кольца характеристики  — это совершенное кольцо характеристики вместе с гомоморфизмом колец , таким что для любого совершенного кольца характеристики с гомоморфизмом существует единственный гомоморфизм , такой что . Совершенное замыкание существует для любого кольца[2], следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.

Примечания

  1. Serre, 1979, Section II.4
  2. Bourbaki, 2003, Section V.5.1.4, page 111

Литература

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
  • Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II, Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
  • Brinon, Olivier & Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory, <http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf>. Проверено 5 февраля 2010.
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, vol. 67 (2 ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5
  • Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
  • Matsumura, H (2003), Commutative ring theory, vol. 8 (2nd ed.), Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.