Коприсоединённое представление

Коприсоединённое представление группы Ли  — это представление, сопряжённое к присоединённому. Если  — алгебра Ли группы , соответствующее действие на пространстве , сопряжённом к , называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на .

Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В методе орбит Кириллова представления строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости , которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.

Определение

Пусть  — группа Ли и  — её алгебра Ли,  — присоединённое представление . Тогда коприсоединённое представление определяется как . Более точно,

где  — значение линейного функционала на векторе .

Пусть  — представление алгебры Ли в , индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли . Тогда для справедливо равенство , где  — присоединённое представление алгебры Ли . Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для :

где  — экспоненциальное отображение из в .

Генераторы

Пусть  — дифференцируемая функция на . Рассмотрим изменение функции при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы в направлении вектора и продифференцируем его в единице группы:

(1)

Здесь  — градиент функции , который естественным образом отождествляется с элементом алгебры . Выберем некоторый базис в алгебре и пусть  — взаимный ему базис в , то есть , , где  — символ Кронекера. Выберем в качестве базисный вектор . Тогда равенство (1) преобретает вид

(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей

,

где  — структурные константы алгебры .

Инварианты

Инварианты коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

(2)

Определим антисимметричную билинейную форму на посредством равенства

.

Количество независимых уравнений в системе (2) равно . Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы максимален) называются функциями Казимира алгебры . Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры и равно

.

Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.

Помимо функций Казимира , , определённых в точках общего положения пространства , могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии ранг формы равен , , то непостоянные решения системы (2), ограниченной на подмногообразие , называются функциями Казимира типа . Совокупность независимых функций образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (2) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора .

К-орбиты

Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита, , проходящая через точку в сопряжённом пространстве к алгебре Ли , может быть определена как орбита , или, эквивалентно, как однородное пространство , где  — стабилизатор точки относительно коприсоединённого действия группы .

Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную , и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями

Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности , составляющие особые инвариантные подмногообразия , определяются уравнениями

где  — количество независимых функций Казимира типа . Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.

Форма Кириллова

Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите существует замкнутая невырожденная -инвариантная 2-форма , которая строится следующим образом. Пусть  — определённая выше антисимметричная билинейная форма на . Тогда можно определить посредством равенства

.

Существование, невырожденность и -инвариантность вытекают из следующих фактов:

  • Касательное пространство может быть отождествлено с , где  — алгебра Ли группы .
  • Ядро отображения есть в точности .
  • инвариантно относительно действия .

Кроме того, форма замкнута. Каноническую 2-форму называют формой Кириллова, Кириллова — Костанта или Кириллова — Костанта — Сурио.

К-орбита называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу в равен целому числу:

.

Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.

Скобка Березина

Форма снабжает пространство структурой Пуассонова многообразия со скобкой Ли — Пуассона

,

являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на . Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина[1], невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона , порождаемой формой Кириллова:

.

Здесь  — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом .

Свойства К-орбит

  • Коприсоединённое действие на К-орбите являетсяa гамильтоновым -действием с отображением момента .
  • Если для орбиты существует поляризация, то вложение может быть реализовано функциями , линейными по переменным , где  — канонические координаты для формы Кириллова на орбите .[2][3]

Примеры

Группа

Алгебра Ли группы движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями

(коммутирующие элементы и соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент  — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа трёхмерна). Соответственно, матрица формы имеет вид

Её ранг равен двум всюду, кроме прямой , представляющей собой особое инвариантное подмногообразие коприсоединённого действия группы на , поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия

выписываются два независимых уравнения

,

определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня

,

каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью . Особое многообразие уровня () совпадает с и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит , . Форма Кириллова

приводится к каноническому виду в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту :

.

Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по . Возможность линейного по «импульсу» --перехода гарантируется наличием в двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы , , являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.

Группа

 — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли

(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы :

.

Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы

,

с центром в начале координат. Особое подмногообразие состоит из одной точки , так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.

Поскольку в алгебре нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим -переменным для формы Кириллова

.

Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в , комплексификации алгебры . Например, для ковектора таковой является подалгебра , поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:

.

Легко проверить, что этим преобразованием форма действительно приводится к каноническому виду.

См. также

Литература

  • А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. — 343 с.
  • Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300, ISBN 978-0821835302

Примечания

  1. А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Скобки Дирака в геометрии и механике. В книге: Дирак П. А. М. Лекции по теоретической физике. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 191 – 230. — 240 с. — ISBN 5-93972-026-9.
  2. С. П. Барановский, И. В. Широков. Деформации векторных полей и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления // Сибирский математический журнал. — 2009. — Июль — август (т. 50, № 4). С. 737—745. ISSN 0037-4474.
  3. Do Ngoc Diep. Quantum strata of coadjoint orbits (англ.) // arXiv.org. — 2000. — May. P. 1—27. ISSN 2331-8422.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.