Ковариантный вектор

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

${\displaystyle \ v_{i}=g_{ij}v^{j}}$

${\displaystyle \ v^{i}=g^{ij}v_{j}}$

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов — например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свёртка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам ${\displaystyle dx^{i}}$) естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр ${\displaystyle \ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}}$ получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора ${\displaystyle \ \partial _{i}\varphi }$, являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором ${\displaystyle \ dx^{i}}$, являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой ${\displaystyle \ dx^{i}}$ свёртывается с помощью метрики: ${\displaystyle \ (dx)^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$, что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идёт об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности/контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения ${\displaystyle \ dx^{i}}$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с ${\displaystyle \ dx^{i}}$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы); в противном случае (свёртка требует участия метрики) это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.