Однопараметрическая группа

Такие однопараметрические группы играют важную роль в теории групп Ли, в которых каждый элемент ассоциированной алгебры Ли определяет гомоморфизм. В случае групп матриц гомоморфизм задаётся матричной экспонентой.

Другой важный случай присутствует в функциональном анализе, где ${\displaystyle G}$ является группой унитарных операторов в гильбертовом пространстве.

В монографии 1957 года Группы Ли П.М. Кон приводит следующую теорему:

Любая связная одномерная группа Ли аналитически изоморфна либо аддитивной группе вещественных чисел ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$, либо ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$, аддитивной группе вещественных чисел ${\displaystyle \mod 1}$. В частности, каждая одномерная группа Ли локально изоморфна ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

В физике однопараметрические группы применяются для описания динамических систем.[2] Если совокупность физических законов согласуется с однопараметрической группой дифференцируемых симметрий, то в ней существует сохраняющаяся величина, согласно теореме Нётер.

При исследовании пространства-времени использование единичной гиперболы для калибровки пространственно-временных измерений стало привычным с работ Германа Минковского 1908 года. Если использовать параметризацию гиперболы с помощью гиперболического угла, то в специальной теории относительности можно вычислить относительное движение с помощью однопараметрической группы, характеризуемой быстротой. В релятивистской кинематике и динамике быстрота заменяет понятие скорости. Поскольку быстрота не имеет ограничения сверху, то образуемая ей группа не является компактной. Понятие быстроты было введено Эдмундом Уиттакером в 1910 году, также год спустя понятие появилось в работах Альфреда Робба. Параметр быстроты соотносится с длиной гиперболического версора, понятие которого введено в XIX веке. Специалисты по математической физике Джеймс Кокл, Уильям Клиффорд и Александр Макферлейн применяли в работах изображение декартовой плоскости с помощью оператора ${\displaystyle (\cosh {a}+r\sinh {a})}$, где ${\displaystyle a}$ является гиперболическим углом, а ${\displaystyle r^{2}=+1}$.

Важный пример в группе преобразований Ли возникает, если ${\displaystyle G}$ является ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$, группой обратимых матриц размера ${\displaystyle n\times n}$ с комплексными элементами. В таком случае основной результат можно изложить следующим образом:[3]

Теорема: Пусть ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )} является однопараметрической группой. Тогда существует единственная матрица ${\displaystyle X}$ размера ${\displaystyle n\times n}$, такая, что

${\displaystyle \varphi (t)=e^{tX}}$

для всех ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Из этого результата следует, что ${\displaystyle \varphi }$ дифференцируемо, хотя такое предположение в теореме не используется. Матрицу ${\displaystyle X}$ можно восстановить по ${\displaystyle \varphi }$ как

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X}$. Данный результат можно использовать, например, для того, чтобы показать, что любой непрерывный гомоморфизм между группами Ли матриц является гладким.[4]

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666.