Подмногообразие
Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.
Топологическое подмногообразие
В узком смысле слова топологическое -мерное подмногообразие топологического -мерного многообразия ― такое подмножество , которое в индуцированной топологии является -мерным многообразием.
В широком смысле слова топологическое -мерное подмногообразие топологического -мерного многообразия ― такое -мерное многообразие , которое как множество точек является подмножеством (иными словами, ― это подмножество , снабженное структурой -мерного многообразия) и для которого тождественное вложение является погружением.
Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки имеется сколь угодно малые окрестности в , являющиеся пересечениями с некоторых окрестностей в ).
Связанные определения
- Число называется коразмерностью подмногообразия .
- Подмножество является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки имеются такая окрестность этой точки в и такие локальные координаты в ней, что в терминах этих координат описывается уравнениями .
- Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием.
Алгебраическая геометрия
В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского.
Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.
