Инверсная группа

Инверсная группа — построение в теории групп, сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия. Для данной группы ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ строится как группа ${\displaystyle G^{op}=(G,{*})}$ с тем же множеством элементов, но с произведением ${\displaystyle {*}}$, определённым по правилу ${\displaystyle g*h:=h\cdot g}$.

Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой. Инверсная группа любой группы изоморфна ей: изоморфизмом будет, например, ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$; кроме того, любой антиавтоморфизм ${\displaystyle \psi :G\to G}$ (взаимно-однозначное отображение группы на себя, удовлетворяющее соотношению ${\displaystyle \psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)}$) порождает соответствующий изоморфизм ${\displaystyle \varphi :G\to G^{op}}$:

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)=\psi (a)*\psi (b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$.

Если задано правое действие группы ${\displaystyle G}$ на объекте некоторой категории: ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$, то ${\displaystyle \rho ^{op}:G^{op}\to \mathrm {Aut} (X)}$, определённое как ${\displaystyle \rho ^{op}(g)=\rho (g)}$ (или ${\displaystyle g^{op}x=xg}$), является левым действием.

При категорном определении группы инверсная группа становится частным случаем двойственной категории.