Остаточно конечная группа

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа $G$ такая, что для любого элемента $g\neq 1$ найдётся гомоморфизм $h\colon G\to F$ в конечную группу $F$ , удовлетворяющий условию $h(g)\neq 1$ .

Примеры

Любая конечная группа остаточно конечна;
Любая свободная группа остаточно конечна;
Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна.
Группа Баумслага — Солитера $BS(m,n)$ остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$ , $|n|=1$ , или $|m|=|n|$ [1]

Свойства

Теорема Мальцева.[2] Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
- В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.

Литература

Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups.
A. I. Mal'cev, "On the faithful representation of infinite groups by matrices" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 45 (1965) pp. 1–18

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups.

[2] A. I. Mal'cev, "On the faithful representation of infinite groups by matrices" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 45 (1965) pp. 1–18