Группа Баумслага — Солитера

Группа Баумслага — Солитера — группа с двумя образующими $a$ и $b$ и одним соотношением

ab^{m}a^{-1}=b^{n}.

Граф Кэли группы

BS(1,2)

.

Обычно, эта группа обычно обозначается $BS(m,n)$ .

Примеры и свойства

$BS(1,1)$ это свободная абелева группа с двумя образующими,
$BS(1,-1)$ фундаментальная группа бутылки Клейна
$BS(1,n)$ при $n>1$ изоморфна подгруппе группы аффинных преобразований вещественной прямой, порождённая отображениями $a:x\to nx$ и $b:x\to x+1$ .
Группа $BS(2,3)$ (наряду с остальными группами $BS(m,n)$ , для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером нехопфовой группы[1]. А именно, эпиморфизм $\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$ не является автоморфизмом $BS(2,3)$ .
Группа $BS(n,m)$ $\text{[math]}$ допускает линейное представление $a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ $\text{[math]}$ and $b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ $\text{[math]}$ .
- Это преставление не является эффективным, то есть различные элементы группу могут соответствовать одному линейному оператору.
Группа $BS(m,n)$ остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$ , $|n|=1$ , или $|m|=|n|$ [2]

Ссылки

D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups

D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR: 0142635

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.

[2] Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups