Компактно-открытая топология

Компактно-открытая топология — естественная топология на пространстве $C(X,Y)$ — пространстве непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами $X\to Y$ , предбазу которой образуют множества отображений вида

W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},

где $U\subset Y$ — открытое множество, а $K\subset X$ — компактное множество.

Свойства

Если $X$ $\text{[math]}$ компактно, а $Y$ $\text{[math]}$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_{n}$ $\text{[math]}$ в $C(X,Y)$ $\text{[math]}$ означает равномерную сходимость.
- Более общо: если $Y$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_{n}$ в $C(X,Y)$ означает равномерную сходимость сужений $f_{n}|K$ для любого компактного множества $K\subset X$ .

Литература

О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.