Изотопия

Изотопия многообразия ${\displaystyle M}$ — гладкое отображение ${\displaystyle f:[0,1]\times M\to M}$ такое, что каждое ${\displaystyle f_{t}:M\to M}$ является диффеоморфизмом, где ${\displaystyle f_{t}(x)=f(t,x)}$ и ${\displaystyle f_{t}}$ не зависит от ${\displaystyle t}$ в некоторых окрестностях 0 и 1 (${\displaystyle f_{t}}$ — тождественное отображение).

Изотопия ${\displaystyle f}$ называется эквивариантной, если оно коммутирует с действием группы. Точнее если ${\displaystyle f^{G}=M,}$ где ${\displaystyle f^{G}=\{x\in M\,|\,f_{t}(gx)=gf_{t}(x)\quad \forall t\in I\,\And \,g\in G\}.}$ Предполагается, что руппа ${\displaystyle G}$ гладко действует на ${\displaystyle M}$.

Множество ${\displaystyle f^{G}}$ является замкнутым инвариантным подпространством многообразия ${\displaystyle M}$ (подпространством эквивариантности изотопии ${\displaystyle f}$).

• Накрывающей (или объемлющей) изотопией для изотопии ${\displaystyle f_{t}:X\to Y}$ называется изотопия пространства ${\displaystyle F_{t}:Y\to Y}$ такая, что ${\displaystyle F_{t}|_{X}\equiv f_{t}}$
• Два вложения ${\displaystyle f_{0},f_{1}:X\to Y}$ называются изотопными если существует накрывающая изотопия ${\displaystyle F_{t}:Y\to Y}$, для которой ${\displaystyle F_{0}=id,F_{1}(f_{0}(X))=f_{1}(X)}$.
• Пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ называются изотопически эквивалентными или пространствами одного и того же изотопического типа, если существуют вложения ${\displaystyle f:X\to Y,\ g:Y\to X}$ такие, что композиции ${\displaystyle g\circ f:X\to X}$ и ${\displaystyle f\circ g:Y\to Y}$ изотопны тождественным отображениям.
  • Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопического типа, например ${\displaystyle n}$-мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (одним своим концом) отрезком.
  • Любой гомотопический инвариант является изотопическим инвариантом, но существуют изотопические инварианты, например размерность, не являющиеся гомотопическими.

• Изотопия является отношением эквивалентности.
• Гладкая изотопия всегда продолжается до гладкой накрывающей изотопии
• Существуют диффеоморфизмы сферы ${\displaystyle S^{n}}$ на себя, неизотопные тождественному, этот факт связан с существованием нетривиальных дифференциальных структур на сферах размерности ${\displaystyle n+1}$.