Уравнитель (математика)

Уравнитель морфизмов ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon X\to Y}$ — это предел (если он существует) диаграммы ${\displaystyle \downarrow \downarrow }$, то есть такой морфизм ${\displaystyle eq\colon E\to X}$, что ${\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}$ и для любого морфизма ${\displaystyle m\colon O\to X}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle u\colon O\to E}$, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Равносильно, уравнитель можно определить как коуниверсальный квадрат для морфизмов ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon X\to Y}$.

• В категории множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}et}$ уравнитель двух отображений ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — это естественное вложение во множество ${\displaystyle X}$ множества, на котором ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ совпадают, то есть множества ${\displaystyle \{x\in X:f(x)=g(x)\}}$.
• Аналогичным образом определяется уравнитель в категории ${\displaystyle {\mathcal {T}}op}$ топологических пространств.
• В категории абелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {A}}b}$ уравнитель гомоморфизмов совпадает с ядром их разности. Именно поэтому уравнитель в произвольной категории также иногда называют ядром разности, хотя в не предаддитивной категории, вообще говоря, разность морфизмов не определена.

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.