Диагональный функтор

Диагональный функтор — функтор, в некотором смысле являющийся обобщением декартовой степени множества.

Диагональный функтор ${\displaystyle \Delta \colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ — категория функторов из малой категории ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ в произвольную категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) сопоставляет каждому объекту категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ постоянный функтор, отправляющий все объекты ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ он сопоставляет очевидное естественное преобразование функторов. Часто рассматривают случай, когда ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ — дискретная категория из двух объектов, в этом случае получается функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$.

Диагональный функтор предоставляет способ определить пределы и копределы функторов. Операция взятия предела диаграммы типа ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ (если все пределы этого типа в категории существуют) — это функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$, оказывается что функтор предела является правым сопряжённым к диагональному функтору. Соответственно, функтор копредела, если все копределы нужного типа существуют, — левый сопряжённый к диагональному.